(Un)gleichheit...

Letztens fragte mich eine Studierende wieso in DataLab keine Tests auf Gleichheit von Mittelwerten eingebaut sind - man kann ja mit den üblichen Tests immer nur die Annahme der Gleichheit von Mittelwerten widerlegen, nie aber bestätigen. Sie erkannte darin einen schweren Mangel von DataLab und meinte, dass das Fehlen solch elementarer Tests wohl nicht verkaufsförderlich sei. Nun, statistisch gesehen eine interessante Frage - ob sich daraus allerdings Konsequenzen kommerzieller Natur ableiten lassen, wollen wir lieber den Marketingexperten überlassen (die werden schon einen passenden Spruch finden, damit der Blähbauch nicht zu groß wird).

Ich möchte die Antwort auf den statistischen Teil der Frage durch ein einfaches Beispiel illustrieren: Angenommen, wir möchten mit einem statistischen Test nachweisen, dass ein Mittelwert θ signifikant gleich einem vorgegebenen Wert θ₀ ist. Nach der üblichen Vorgangsweise bei statistischen Tests müsste man dazu als Nullhypothese das Gegenteil behaupten (H₀: "der Mittelwert ist nicht gleich θ₀"). Bei einer Ablehnung dieser H₀ wüsste man dann, dass der Mittelwert mit 100*(1-α)%iger Sicherheit gleich dem vorgegebenen Wert ist (wobei α das Signifikanzniveau ist).

So weit so gut. Das Problem ist nur, dass man keinen statistischer Test konstruieren kann, der zu einer direkten Ablehnung dieser Nullhypothese führt, da ja "nicht gleich" bedeuten kann, dass der Mittelwert sich nur ganz wenig unterscheidet (z.B. um ein Prozent abweicht), oder aber ganz enorm abweicht (z.B. um den Faktor 10 größer ist). So lange ich nicht festlege, was ich unter Ungleichheit verstehe, werde ich keine fundierte Entscheidung bzgl. H₀ treffen können (= H₀ auf einem bestimmten Signifikanzniveau ablehnen).

Um korrekt vorzugehen, muss ich also einen sogenannten Äquivalenzbereich definieren [ε₁, ε₂], innerhalb dessen ich etwaige Unterschiede als irrelevant betrachte. Für meine Null- bzw. Alternativhypothese gelten somit die Formulierungen:

H0:	θ ≤ ε1 oder θ ≥ ε2
H1:	ε1 < θ < ε2

Man führt also den Test auf Ungleichheit auf zwei einseitige Tests zurück und lehnt die oben formulierte Nullhypothese ab, falls beide Teiltests zu einer Ablehnung ihrer jeweiligen Nullhypothese führen.

Das bedeutet aber, dass ich (1) ohne vorherige Festlegung des Äquivalenzbereich, also ohne Festlegung, wie Ungleichheit definiert ist, keinen Test auf Gleichheit durchführen kann, und (2) bei zu kleinem Äquivalenzbereich ich nie eine Ablehnung der Nullhypothese bekommen werde. Wie groß der Äquivalenzbereich mindestens sein muss, hängt vom Signifikanzniveau und von der Zahl der Beobachtungen ab.

Zurück zur eingangs erwähnten Studierenden: Abgesehen davon, dass in DataLab natürlich einseitige Tests eingebaut sind und man auf diese Weise den Äquivalenztest durchführen kann - vielleicht sollte ich doch einen direkten Äquivalenztest in DataLab implementieren, mal sehen, ob das dann der Hit des Jahres wird und ich als kommerzielle Konsequenz daraus alle Studierenden des Jahrgangs auf ein Bier einladen kann (;-)

Buchstabensalat

Ich weiß nicht, wie es anderen Leuten geht; aber wenn ich zu viel (öde) Arbeit habe, dann neige ich dazu, mir mal zwischendurch ein "Spielchen" zu genehmigen. Und am Wochenende war's mal wieder soweit. Die Zahl der zu verbessernden Übungen aus dem Biostatistik-Kurs stieg gegen gefühlte Unendlich - ein schier unüberwindlicher Haufen von Protokollen und Emails. Also was liegt näher, als sich mal kurz aus der Schlacht zu nehmen.

Idee zum Spielchen: Ermittle alle Zwei-Buchstaben-Kombinationen in beliebigen Texten und zähle sie. Die Häufigkeiten der Buchstabenkombinationen werden dann zur statistischen Analyse dieser Texte verwendet.... So weit die Idee. Nun zur Verwirklichung: Da ich seit geraumer Zeit an mehreren eBooks schreibe, und zwei davon inhaltlich praktisch ident sind, das eine in Deutsch das andere in Englisch, wollte ich mal wissen, ob man auf diesem sehr banalen Weg die beiden Ebooks unterscheiden kann.

Also schrieb ich ein kleines 100-Zeilen-Programm, das die Seiten der beiden eBooks (je 527 Seiten) in diese Zweier-Kombinationen aufspaltet. Von den so erhaltenen 676 Variablen (26x26 Buchstaben, Ziffern, Sonderzeichen und Umlaute wurden ignoriert) habe ich mit Hilfe von DataLab jene 180 Variablen ausgewählt, die die höchsten Häufigkeiten aufweisen. Der reduzierte Variablensatz wurde dann einer Hauptkomponentenanalyse unterworfen. Das Ergebnis war zwar erwartbar, ist aber doch auch interessant:

Hauptkomponentenanalyse der zwei eBooks. Texte der englischen Ausgabe sind blau, die Texte der deutschen Auflage rot eingefärbt.

Man kann in erster Näherung drei Effekte erkennen: (1) deutsche und englische Texte lassen sich sehr gut unterscheiden, (2) im roten, deutschsprachigen Bereich gibt es rund 15 blaue Markierungen. Das sind deutschsprachige Texte im englischen Buch; diese Texte wurden aus der deutschen Version in die englische Version kopiert aber noch nicht übersetzt. (3) Die beiden kleineren Cluster unterhalb der beiden Hauptcluster rühren von speziellen Seiten her, die sehr stark formalisiert sind und keine freien Formulierungen enthalten (es handelt sich um rund 90 Texte eines Wizzards zur Auswahl geeigneter statistischer Tests).

Wer selber mit dem Datensatz experimentieren möchte, findet den vollständigen Datensatz im DataLab-Repository unter dem Titel "Linguistische Textanalyse" (allerdings kann der Datensatz nur mit der registrierten Version von DataLab geladen werden, für die kostenlose Version ist er zu groß).

Übrigens: Den eingangs erwähnten unüberwindlichen Haufen an Übungsprotokollen habe ich dann natürlich auch noch fertig abgearbeitet - was dem Sonntag einen speziellen Touch gab ("am siebten Tag sollst du ruhen...").

US Wahlen und Austrogehirne

Irgendwie drängt sich der Eindruck auf, dass die Hysterie um die US-amerikanische Präsidentschaftswahl, das Gehirn so manchen Redakteurs schwer beeinträchtigt. Wer's nicht glaubt, kann ja mal die Nachrichtenzusammenfassung am Ende des Morgenjournals im österreichischen Rundfunk am 6.11.2012 um ca. 8h12 nachhören (in der ORF-Radiothek). Zitat:

"Bei den heutigen Präsidentenwahlen in den USA zeichnet sich ein Kopf-an-Kopfrennen ab, wie sich auch am Beispiel eines kleinen Dorfes im nordöstlichen New Hampshire zeigt. In Dixville Notch haben etwa die wenigen Einwohner bereits gewählt, dabei hat es erstmals in der Geschichte ein Patt gegeben. 5 Stimmen für Amtsinhaber Barack Obama, und ebenfalls 5 Stimmen für Mitt Romney. 5 zu 5, ein weiterer Indikator für das extrem knappe Rennen bei der diesjährigen Wahl."

Das nenne ich eine valide Vorhersage des Wahlausgangs und einen Super-Indikator! Bravo ORF, für solche Meldungen zahle ich wirklich gerne meine Gebühren. Und damit ich die geringen ORF-Gebühren nicht überstrapaziere, möchte ich eine eingehendere statistische Diskussion dieser genialen Meldung nicht weiter verfolgen.... schade um den Strom, den die Ausstrahlung dieses "Beitrags" verbraucht hat.

P.S.: Frage an die Statistiker: Wie groß ist das Konfidenzintervall für eine Hochrechnung aus diesem Ergebnis, wenn man bedenkt, dass die paar Bewohner sich vielleicht abgesprochen haben???

Raucher bitte tief durchatmen!

Nachdem wir uns bei der ersten Analyse der Staubmessungen in der Wiener U-Bahn über mögliche Ausreißer klar geworden sind und diese aus den Daten entfernt haben, möchte ich noch eine Frage nachschieben, die wir mit statistischen Mitteln beantworten wollen: Ist die Staubbelastung in den Stationsgebäuden U2 und U3 beim Volkstheater tatsächlich unterschiedlich?

Dazu wählen wir mal jeweils eine 5-minütige Phase während des Aufenthalts in den Stationsgebäuden U2 und U3 aus. Die Daten dazu finden sich unten, die Angaben beziehen sich auf den lungengängigen Staub, der in mg/m³ angegeben ist. Die jeweils 11 Messungen wurden mit 30 Sekunden Abstand gemessen.

Nun, bei einem Blick auf die Daten "sieht ja ein Blinder", dass die Werte in der U2 und in der U3 deutlich unterschiedlich sind. Aber lässt sich dieser Standpunkt auch vertreten, wenn z.B. ein Politiker (und davon gibt es in Wien überproportional viele) das genaue Gegenteil behauptet? Könnte es nicht sein, dass die Unterschiede zufälligt bedingt sind?

Um hier eine profunde Antwort zu geben, starten wir DataLab und laden die Daten in das Programm (Anleitung und Daten, siehe unten). Nehmen wir an, dass die Messungen der beiden Stationsgebäude unabhängig voneinander sind (sonst müsste ein kräftiger Wind die Luft von einer Station in die andere transportieren - ein Wind war aber während der Messungen nicht wahrnehmbar). Damit können wir die beiden Stichproben durch einen t-Test vergleichen. Voraussetzung für den 2-Stichproben-t-Test ist aber, dass die Stichproben jeweils normalverteilt und die Varianzen gleich sind.

Also führen wir vor dem t-Test einen Normalverteilungstest durch (z.B. den Shapiro-Wilk-Test). Dazu werden die beiden Stichproben jeweils rot und blau markiert und dann der Test durchgeführt. Für keine der beiden Stichproben wird die Nullhypothese (nämlich, dass sie normalverteilt sind) abgelehnt, also testen wir im nächsten Schritt mit dem F-Test auf Varianzgleichheit. Auch hier gibt es keine Ablehnung der Nullhypothese (p=0.07) also können wir im nächsten und letzten Schritt mit gutem Gewissen den t-Test anwenden.

Der t-Test ergibt nun mit sehr hoher statistischer Sicherheit (p < 10^-4 entspricht einer Sicherheit besser als 99.99%), dass die beiden Stichproben unterschiedlich sind. Wir können also mit Fug und Recht behaupten, dass die Luft in der U3-Station hoch signifikant schlechter ist als in der U2-Station. Also, liebe Wiener Nichtraucher, haltet die Luft an, wenn ihr mit der U3 fährt und in der Station Volkstheater aussteigt; Raucher dagegen dürfen und sollen tief durchatmen, denn so reine Luft bekommen sie nur bis zum Anzünden des nächsten Glimmstengels - alles ist relativ....

Die folgenden Daten können leicht durch "Copy and Paste" in DataLab geladen werden. Dazu kopieren Sie alle Zeilen zwischen den Trennstrichen in die Windows-Zwischenablage, wechseln dann zu DataLab und rufen den Befehl Datei/Laden/ASC Daten in Zwischenablage auf.

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Lungenaktive Feinstaubfraktion U2/U3, Werte in mg/m3
2
11
FALSE TRUE FALSE FALSE
RESP-U2  RESP-U3
0.036    0.064
0.040    0.063
0.034    0.064
0.040    0.062
0.038    0.066
0.042    0.054
0.043    0.050
0.039    0.053
0.039    0.056
0.037    0.058
0.046    0.063

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